Question

19．己知0＜a₁＜1，数列{a_n}满足：a_n+1=a_n-1+$\frac{n}{n{+}_{{a}_{n}}}$，n∈N⁺，则满足a_i+a_j（i＜j，i，j∈N⁺）为整数的正整数组对（i，j）（　　）

• A． 至多一对
• B． 至多2对
• C． 有无穷对
• D． 不存在

Answer 1

分析 a_n+1=a_n-1+$\frac{n}{n{+}_{{a}_{n}}}$=${a}_{n}（1-\frac{1}{{a}_{n}+n}）$，n∈N⁺．由0＜a₁＜1，可得a_n＞0．又a_n+1-a_n=-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$＜0，可得数列{a_n}单调递减，而a₂=${a}_{1}•\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$$＜\frac{1}{2}{a}_{1}$$＜\frac{1}{2}$，因此$0＜{a}_{n}＜\frac{1}{2}$对n≥2时恒成立．即可得出．

解答 解：a_n+1=a_n-1+$\frac{n}{n{+}_{{a}_{n}}}$=${a}_{n}（1-\frac{1}{{a}_{n}+n}）$，n∈N⁺，
∵0＜a₁＜1，∴a_n＞0，都为正．
又a_n+1-a_n=-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$＜0，∴数列{a_n}单调递减，
而${a}_{2}={a}_{1}（1-\frac{1}{{a}_{1}+1}）$=${a}_{1}•\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$$＜\frac{1}{2}{a}_{1}$$＜\frac{1}{2}$，因此$0＜{a}_{n}＜\frac{1}{2}$对n≥2时恒成立．
∴当i，j≥2时，不存在a_i+a_j（i＜j，i，j∈N⁺）为整数．
只有可能a₁+a_j=1．
故选：A．

点评 本题考查了递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．