Question

7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_n•S_n+1=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）证明数列{$\frac{1}{{S}_{n}-1}$}是等差数列；
（3）已知b_n=$\frac{n+1}{n+2}$S_n（n∈N₊），求数列{b_n}列的前2015项之积．

Answer 1

分析 （1）直接在数列递推式中取n=1求得a₁的值；
（2）当n≥2时，把S_n用含有S_n-1的代数式表示，然后利用定义法证明数列{$\frac{1}{{S}_{n}-1}$}是等差数列；
（3）由（2）求出S_n，代入b_n=$\frac{n+1}{n+2}$S_n，再利用累积法求得数列{b_n}列的前2015项之积．

解答 （1）解：当n=1时，由已知可得${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-{{a}_{1}}^{2}+1=0$，解得${a}_{1}=\frac{1}{2}$；
（2）证明：∵S_n²-2S_n-a_n•S_n+1=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入上式，得：S_nS_n-1-2S_n+1=0．
∴S_n与S_n-1（n≥2）的关系式为${S}_{n}=\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，
∴当n≥2时，$\frac{1}{{S}_{n}-1}-\frac{1}{{S}_{n-1}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2-{S}_{n-1}}-1}-\frac{1}{{S}_{n-1}-1}$=$\frac{2-{S}_{n-1}}{{S}_{n-1}-1}-\frac{1}{{S}_{n-1}-1}=-1$．
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}-1}=-2$为首项，-1为公差的等差数列．
（3）解：由（2）可知$\frac{1}{{S}_{n}-1}=-2-（n-1）$，∴${S}_{n}=\frac{n}{n+1}$，
∴${b}_{n}=\frac{n+1}{n+2}•{S}_{n}=\frac{n}{n+2}$，
∴${b}_{1}{b}_{2}…{b}_{2015}=\frac{1}{3}•\frac{2}{4}•\frac{3}{5}…\frac{2014}{2016}•\frac{2015}{2017}=\frac{1}{2033136}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累积法求数列的通项公式，是中档题．