Question

【题目】已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】作出函数f（x）的图象如图：

若m＜n，且f（m）=f（n），

则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，

则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，

则ln（n+1）= m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，

则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），

设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1

则h′（n）=1﹣ = ，

当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，

当h′（x）＜0得0＜n＜1，

即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，

当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，

当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，

则3﹣2ln2≤h（n）＜2，

即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），

故答案为：[3﹣2ln2，2）