Question

【题目】在数列{an}中，a1=1，a2= ，且an+1= （n≥2）
（1）求a3 ， a4；
（2）猜想an的表达式，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由数列{an}，a1=1，a2= ，且an+1= （n≥2）．

令n=2，则a3= = = ；

令n=3，则 =

（2）解：由（1）可猜想 ．

下面利用数学归纳法加以证明：

①当n=1，2，3，4时，由（1）和已知经验证可知：结论成立；

②假设当n=k（k≥4）时，结论也成立，即 ；

那么当n=k+1时，由题设与归纳假设可知： = = ．

即当n=k+1时，结论也成立．

综上，对n∈N*， 成立．

【解析】
【考点精析】解答此题的关键在于理解归纳推理的相关知识，掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理，以及对数学归纳法的定义的理解，了解数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．