题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)若曲线在
处的切线与直线
平行,求
的值;
(2)若对于任意且
,都有
恒成立,求
的取值范围.
(3)若对于任意,都有
成立,求整数
的最大值.
(其中为自然对数的底数)
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】分析:(1)由题意得:,由题意可得
,解得
.
(2)因为,所以
,
记,可知
在
上单调递增.
所以在
上恒成立,
即在
上恒成立,记
,即可求得
的取值范围.
(3)若对于任意,都有
成立,
所以对于任意
恒成立,
即对于任意
恒成立,
令,利用导数研究函数
的性质,即可得到整数
的最大值.
详解:
(1)由题意得:,
又曲线在
处的切线与直线
平行,
所以,解得
.
(2)因为,所以
,
记,又因为
且
,
所以在
上单调递增.
所以在
上恒成立,
即在
上恒成立,记
,
所以,令
,解得
,
因为当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
所以当时,
取到最大值
,
所以.
(3)若对于任意,都有
成立,
所以对于任意
恒成立,
即对于任意
恒成立,
令,所以
,
再令,所以
在
恒成立,
所以在
上单调递增,
又,
,
所以必存在唯一的解,使得
,
即,
所以当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
所以,
因为,所以
,
又因为,所以
的最大整数为
,
所以整数的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知函数 (
),若函数F(x)=f(x)﹣3的所有零点依次记为x1 , x2 , x3 , …,xn , 且x1<x2<x3<…<xn , 则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn= .
【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | |||||||
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)