Question

【题目】如图，已知长方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD⊥BM
（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为 ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵长方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M为DC的中点， ∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD平面ADM∴AD⊥BM；
（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，设 ，
则平面AMD的一个法向量 =（0，1，0）， = + =（1﹣λ，2λ，1﹣λ）， =（﹣2，0，0），
设平面AME的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，
取y=1，得x=0，z= ，
则 =（0，1， ），
∵cos＜ ， ＞= = ，∴求得 ，
故E为BD的中点．

【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．