题目内容
【题目】设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
【答案】(1)当时,
偶函数,当
时,
为非奇非偶函数;(2)
.
【解析】试题分析:(1)对于函数 f(x)=x2+|x﹣a|+1,分当a=0时、和当a≠0时两种情况,分别讨论f(x)的奇偶性;
(2)当x≤a时,f(x)=x2﹣x+a+1=(x﹣)2+a+
,分a>
时和a≤
时两种情况,分别求得函数f(x)的最小值.②当x>a 时,f(x)=x2+x﹣a+1=(x+
)2﹣a+
,分a>﹣
时和当a≤﹣
时两种情况,分别求得函数f(x)的最小值.
解:(1)对于函数 f(x)=x2+|x﹣a|+1,
当a=0时,f(x)=x2+|x|+1为偶函数,
当a≠0时,f(x)=x2+|x|+1为非奇非偶函数.
(2)①当x≤a时,f(x)=x2﹣x+a+1=(x﹣)2+a+
,
若a>时,函数f(x)的最小值为f(
)=a+
;
若a≤时,函数f(x)的最小值为f(a)=a2+1.
②当x>a 时,f(x)=x2+x﹣a+1=(x+)2﹣a+
,
若a>﹣时,函数f(x)的最小值为f(a)=a2+1;
若a≤﹣时,函数f(x)的最小值为f(﹣
)=﹣a+
.
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