题目内容
16.已知点C在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)上,以C为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F,若圆C与y轴相切,则椭圆的离心率为( )A. | $\sqrt{2}$-1 | B. | $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ | D. | $\sqrt{3}$-1 |
分析 如图所示,把x=c代入椭圆方程可得:$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$,解得yC,根据以C为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F,圆C与y轴相切,可得c=yC,化简解出即可得出.
解答 解:如图所示,
把x=c代入椭圆方程可得:$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$,
解得yC=$\frac{{b}^{2}}{a}$,
∵以C为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F,圆C与y轴相切,
∴c=$\frac{{b}^{2}}{a}$,
化为ac=b2=a2-c2,
∴e2+e-1=0,0<e<1,
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
故选:C.
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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1.点M是抛物线y=$\frac{1}{4}$x2上一点,F为抛物线的焦点,以MF为直径的圆与x轴的位置关系为( )
A. | 相切 | B. | 相交 | C. | 相离 | D. | 不确定 |