题目内容

6.如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5.
(1)求证:四边形AEBC为平行四边形.
(2)求线段CF的长.

分析 (1)由已知条件推导出∠ABC=∠BAE,从而得到AE∥BC,再由BD∥AC,能够证明四边形ACBE为平行四边形.
(2)由已知条件利用切割线定理求出EB=4,由此能够求出CF=$\frac{8}{3}$.

解答 (1)证明:∵AE与圆相切于点A,∴∠BAE=∠ACB,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=∠BAE,
∴AE∥BC,
∵BD∥AC,∴四边形ACBE为平行四边形.
(2)解:∵AE与圆相切于点A,
∴AE2=EB•(EB+BD),即62=EB•(EB+5),
解得EB=4,
根据(1)有AC=EB=4,BC=AE=6,
设CF=x,由BD∥AC,得$\frac{AC}{BD}=\frac{CF}{BF}$,
∴$\frac{4}{5}=\frac{x}{6-x}$,解得x=$\frac{8}{3}$,
∴CF=$\frac{8}{3}$.

点评 本题考查平行四边形的证明,考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用.

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