题目内容
4．
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB1⊥BC，且AA1=AB．（1）求证：AB∥平面A1DC；
（2）求证：平面AB1B⊥平面A1BC．
分析 （1）由四棱柱的性质，可得CD∥C1D1，再由公理四可得AB∥CD，运用线面平行的判定定理即可得到证明；
（2）运用菱形的对角线垂直和线面垂直和面面垂直的判定定理，即可得证．
解答 证明：（1）四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面CDD1C1为平行四边形，
即有CD∥C1D1，又AB∥C1D1，
即有AB∥CD，
AB?平面A1DC，CD?平面A1DC，
即有AB∥平面A1DC；
（2）四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1为平行四边形，
又AA1=AB，则ABB1A1为菱形，
即有AB1⊥A1B，
又AB1⊥BC，A1B∩BC=B，
即有AB1⊥平面A1BC，
由于AB1?平面AB1B，
故平面AB1B⊥平面A1BC．
点评 本题考查线面平行的判定定理的运用和面面垂直的判定定理的运用，注意运用线线平行和线面垂直的判定定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
练习册系列答案
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