Question

11．已知函数f（x）=ax²-bx+1．
（1）求实数a，b使不等式f（x）＜0的解集是{x|3＜x＜4}；
（2）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用不等式ax²-bx+1＜0的解集是{x|3＜x＜4}，推出方程ax²-bx+1=0的两根是3和4，求解即可．
（2）利用已知条件推出f（-2）•f（-1）＜0，求出a的范围，然后求解即可．

解答 解：（1）∵不等式ax²-bx+1＜0的解集是{x|3＜x＜4}，
∴方程ax²-bx+1=0的两根是3和4，…．（2分）
∴解得a=$\frac{1}{12}$，b=$\frac{7}{12}$．…．（6分）
（2）∵b=a+2，∴f（x）=ax²-（a+2）x+1．…．（7分）
∵△=（a+2）²-4a=a²+4＞0，
∴函数f（x）=ax²-bx+1必有两个零点．…．（8分）
又函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，
∴f（-2）•f（-1）＜0，∴（6a+5）（2a+3）＜0，…．（10分）
解得-$\frac{3}{2}$＜a＜-$\frac{5}{6}$．∵a∈Z，∴a=-1．…．（12分）

点评 本题考查二次表达式的解法，函数的零点与方程根的关系，考查计算能力．