题目内容
【题目】在平面
内，已知
，过直线
，
分别作平面
，
，使锐二面角
为
，锐二面角
为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
根据已知条件构造正四棱锥，可根据锐二面角
为
，锐二面角
为得出正四棱锥的高度.通过正四棱锥建立空间直角坐标系，用空间向量求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
如图
由题意以平面
为底面，以平面，为两相邻的侧面构造正四棱锥
，设正四棱锥的底面边长为2，以点
为坐标原点，以
，
，过点垂直于平面的直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，
在正四棱锥中设
，
为，中点，
，
则
，
，
∴
为二面角的平面角，
同理
为二面角的平面角，
∴
，
∴在
中，
，
则由题意易得
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面的法向量为
，
则有
，
令
得平面的一个法向量为
，
同理可得平面的一个法向量为
，
则平面和平面所成锐二面角的余弦值为
.
故选:A.
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