题目内容

在棱长为的正方体中,点是正方体棱上一点(不包括棱的端点),
①若,则满足条件的点的个数为________
②若满足的点的个数为,则的取值范围是________
     

试题分析:①时,,结合椭圆定义知,动点轨迹为一个以2为长轴长,正方体中心为中心,为焦点的椭圆体.
⑴当椭圆体与有交点时,则由对称性知椭圆体必与有交点.
,则
因为,所以由于,所以此时有六个交点.
⑵当椭圆体与有交点时,则由对称性知椭圆体必与有交点.
,则
因为所以由于,所以此时无有六个交点.
说明:当时,椭圆体与正方体交于除外的六个顶点.
②若则动点不存在.若则动点轨迹为线段,满足条件的点的个数为2.因此即动点轨迹为一个以2为长轴长,正方体中心为中心,为焦点的椭圆体.由①分析可知,要使得满足条件的点的个数为6,须使得.
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