题目内容

已知椭圆,过点且离心率为.

(1)求椭圆的方程;
(2)已知是椭圆的左右顶点,动点M满足,连接AM交椭圆于点P,在x轴上是否存在异于A、B的定点Q,使得直线BP和直线MQ垂直.
(1);(2)存在,

试题分析:(1)由离心率,所以①,再把点代入椭圆中得:②,最后③,由①②③三式求出,即可写出椭圆方程;
假设存在,设,则直线的方程, 可得, 并设定点,由,直线与直线斜率之积为-1,即 ,化简得 ,又因为 ,得,可求出,继而得到定点点坐标.
(1)由题意得:
 得
所以,椭圆方程为
(2)设,则直线的方程
可得,       
设定点
,即 ,  
                       
又因为,所以
进而求得,故定点为.           
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