Question

3．若x＜1，求函数y=x+$\frac{1}{x-1}$的最大值，并求相应的x值．

Answer 1

分析 把函数y=x+$\frac{1}{x-1}$变形，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵x＜1，
∴y=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1=-[（1-x）+$\frac{1}{1-x}$]+1
$≤-2\sqrt{（1-x）•\frac{1}{1-x}}+1$=-1．
当且仅当1-x=$\frac{1}{1-x}$，即（1-x）²=1，也就是x=0时，函数y=x+$\frac{1}{x-1}$有最大值为-1．

点评 本题考查基本不等式，训练了利用基本不等式求最值，关键是注意等号成立的条件，是基础题．