Question

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$acosC=csinA+a．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$\sqrt{3}$sinAcosC=sinCsinA+sinA，由sinA≠0，解得cos（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合范围$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，即可求得C的大小．
（2）由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinC}{c}$的值，由0＜A＜π，可得A，利用三角形内角和定理可求B，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$acosC=csinA+a．
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinAcosC=sinCsinA+sinA，
∵sinA≠0，
∴$\sqrt{3}$cosC-sinC=1，可得：cos（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，解得：C=$\frac{π}{6}$．
（2）∵a=2$\sqrt{3}$，c=2，
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由0＜A＜π，可得：A=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，
∴B=π-A-C=$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{6}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×$sinB=2$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式是解题的关键，属于中档题．