题目内容
【题目】已知椭圆
： 
的离心率为
，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）直线
与椭圆
交于
， 
两点， 
的中点
在圆
上，求
（
为坐标原点）面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）
.
（Ⅱ）1.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知， 
，得
， 
，代入椭圆的方程，再由椭圆
的四个顶点围成的四边形的面积得
，求得
的值，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，得到
，
当直线
的斜率存在时，设
: 
，联立方程组，求得
，求得
中点的坐标，代入圆的方程，得
，再由弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到
的表达式，即可求解面积的最大值．
试题解析：
（Ⅰ）由题意知
，得
， 
，
所以
，
由椭圆
的四个顶点围成的四边形的面积为4，得
，
所以
， 
，椭圆
的标准方程为
.
（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，
令
，得
， 
，
当直线
的斜率存在时，设
: 
， 
， 
， 
，
由
，得
，
则
， 
，
所以
， 
，
将
代入
，得
，
又因为
，
原点到直线
的距离
，
所以
.
当且仅当
，即
时取等号.
综上所述， 
面积的最大值为1.
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