Question

1．设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$是两个单位向量，其夹角为θ，则“$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{3}$”是“|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＜1”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件和向量的应用进行判断即可．

解答 解：若$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{3}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ=cosθ∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{2-2cosθ}$，
∵cosθ∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴2cosθ∈（1，$\sqrt{3}$），
则2-2cosθ∈（2-$\sqrt{3}$，1），则$\sqrt{2-2cosθ}$＜1，
即|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＜1成立，即充分性成立；
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{2-2cosθ}$，
∴由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＜1得$\sqrt{2-2cosθ}$＜1得2-2cosθ＜1，
则cosθ＞$\frac{1}{2}$，则0≤θ＜$\frac{π}{3}$，k∈Z，即必要性不成立；
即“$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{3}$”是“|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＜1”的充分不必要条件，
故选：A

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的数量积的应用是解决本题的关键．