Question

【题目】设函数

（1）求的单调区间；

（2）若为整数，且当时， 恒成立，其中为的导函数，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增（2）2

【解析】试题分析：（1）先求导数，根据a的大小讨论导函数是否变号：若a≤0，导函数恒非负，为单调增区间；若a＞0，导函数符号变化，先负后正，对应先减后增（2）分类变量得 ，再利用导数求最小值：在极小值点取最小值，根据极值定义得 及零点存在定理确定范围 ，化简最小值为，并确定其范围为（2,3） ，因此可得正整数的最大值.

试题解析：（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a，

若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增

若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；

当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；

所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增

（2）由于a=1，

令，，

令，在单调递增，

且在上存在唯一零点，设此零点为，则

当时，，当时，

，

由，又

所以的最大值为2