Question

【题目】设函数.

（Ⅰ）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求的值；

（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求得a的值；（2）函数有两个零点，则方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根. 研究函数的单调性与极值即可.

试题解析：

（Ⅰ）由题意知，函数的定义域为， ，∴，解得.

（Ⅱ）若函数有两个零点，则方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根.设函数，∴ .

当时， 恒成立，则函数在上是增函数，∴函数最多一个零点，不合题意，舍去；当时，令，解得，令，解得，则函数在内单调递减，在上单调递增.易知时， 恒成立，要使函数有2个正零点，则的最小值，即，即，∵，∴，解得，即实数的取值范围为.