Question

【题目】已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）（k≠0）相交于A、B两点，O是坐标原点．
（1）当k= 时，求|AB|的长；
（2）求证无论k为何值都有OA⊥OB．

Answer 1

【答案】
（1）解：由方程组 ，

消去x后整理得 ，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

解得 ， ．

可得

（2）证明：由方程组 ，

消去x后整理得ky2+y﹣k=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由韦达定理，得y1y2=﹣1，

由A，B在抛物线y2=﹣x上，

可得 ， ， ，

则 ，

即有无论k为何值都有OA⊥OB

【解析】（1）联立直线方程和抛物线的方程，消去x可得y的方程，求得A，B的坐标，运用两点的距离公式，即可得到所求值；（2）联立直线方程和抛物线方程，可得y的方程，运用韦达定理，由A，B在抛物线y2=﹣x上，代入抛物线方程，再由直线的斜率公式，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．