题目内容
如图，在正方体
中，
分别是
的中点．
（1）证明
； （2）求
与
所成的角；
（3）证明面
面
；（4）
的体积
中，分别是的中点． （1）证明
； （2）求与所成的角；（3）证明面
面；（4）的体积（1）证明见解析 （2）直线与所成角为直角
（3） 证明见解析 （4）1
与所成角为直角 （3） 证明见解析 （4）1
（1）∵
是正方体，∴
面
．
又
， ∴．
（2）取
中点
，连结
，
．因为
是
的中点，所以
、
平行且相等，又
、平行且相等，所以、平行且相等，故
是平行四边形，
．
设与相交于点
，则
是与所成的角，
因为
是
的中点，所以
≌
，
，
从而
，即直线与所成角为直角．
（3）由(1)知，由(Ⅱ)知
，又
，
所以⊥面
．
又因为
，所以面面
．
（4）连结
，
，∵
，∴
，
∵
，面积
．
又
，
∴
．
是正方体，∴面． 又
， ∴． （2）取
中点，连结，．因为是的中点，所以、平行且相等，又、平行且相等，所以、平行且相等，故是平行四边形，．设
与相交于点，则是与所成的角，因为
是的中点，所以≌，，从而
，即直线与所成角为直角．（3）由(1)知
，由(Ⅱ)知，又，所以
⊥面．又因为
，所以面面． （4）连结
，，∵，∴，∵
，面积．又
，∴
．
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。
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；
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．
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；
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