题目内容











(1)证明:
(2)若上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求锐二面角的余弦值;
(3)在(2)的条件下,设,求点到平面的距离。
(1)证明:由四边形为菱形,,知为正三角形
的中点∴,又…………………………1分
平面平面
平面平面,且,
平面,又平面,∴…………………………3分
(2)设,连结         
由(1)知平面,而,∴
与平面所成的角。………………………………………………4分
中,,当最小时,即当时,最大,此时
因此
 ∴…………………………………………………5分
方法一:平面平面, ∴平面平面
,则平面,过,连结,则为二面角的平面角。…………………………………………………… 6分
中,
为的中点,∴中,,

中,         
即所求二面角的余弦值为……………………………………………………………7分
方法二:由(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则:
………………………………………………………7分
设平面的一个法向量为
,因
,则……………………………………………………………8分
平面
为平面的法向量。……………………………………………………6分
         
二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为…………………………………………7分
(3)方法一:由(2)得:在,∴
中,,∴中,
,∴………………………………………………………………8分
,点到平面的距离,…………………9分
设点到平面的距离为
,∴
………………………………………………………………10分
方法二:由(2)解法2知,平面的一个法向量为……………………8分
又∵         
∴点到平面的距离为…………………………………10分
其余方法请酌情给分!!
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