题目内容
设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为________.
如图:|MN|=f(t)-g(t)=t2-lnt(t>0),
令h(t)=t2-lnt(t>0),
则h′(t)=2t-=,
令h′(t)>0,得t>,
令h′(t)<0,得0<t<,
∴h(t)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.
∴当t=时,h(t)取最小值,即t=时,|MN|取最小值.
令h(t)=t2-lnt(t>0),
则h′(t)=2t-=,
令h′(t)>0,得t>,
令h′(t)<0,得0<t<,
∴h(t)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.
∴当t=时,h(t)取最小值,即t=时,|MN|取最小值.
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