Question

11．已知?ABCD的面积为1，E、F分别为AD、CD的中点，连接BE、CE，交AF于P、Q两点，求△PEQ的面积．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把向量用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}$表示，利用向量相等得到PQ=$\frac{4}{15}AF$，再结合三角形面积间的关系及已知?ABCD的面积为1求得△PEQ的面积．

解答 解：如图，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+λ（\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）$
=$λ\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}（1-λ）\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{AP}=μ\overrightarrow{AF}=μ（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{2}μ\overrightarrow{a}$$+μ\overrightarrow{b}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}μ}\\{\frac{1}{2}（1-λ）=μ}\end{array}\right.$，解得：$μ=\frac{2}{5}$；
∵$\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CF}$=$m\overrightarrow{EC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$m（\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}）-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
=$（m-\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}m\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{QF}=n\overrightarrow{AF}=n（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{2}n\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n}\\{\frac{1}{2}m=n}\end{array}\right.$，解得：$n=\frac{1}{3}$．
∴PQ=AF-$\frac{2}{5}AF-\frac{1}{3}AF$=$\frac{4}{15}AF$．
∵F为CD的中点，?ABCD的面积为1，∴${S}_{△ADF}=\frac{1}{4}$，
又E为AD的中点，
∴E到AF的距离h₁为D到AF距离h₂的一半，即${h}_{1}=\frac{1}{2}{h}_{2}$．
∴${S}_{△PEQ}=\frac{1}{2}PQ•{h}_{1}$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{15}AF×\frac{1}{2}{h}_{2}=\frac{2}{15}{S}_{△ADF}=\frac{2}{15}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{30}$．

点评 本题考查三角形的解法，着重考查了平面向量基本定理的应用，考查了数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．