Question

3．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x+b}$是奇函数，且方程f（x）=1有等根．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数y=f（f（x））的奇偶性，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性和方程f（x）=1有相等根，建立方程关系即可求a，b的值；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（f（x））的奇偶性．

解答 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{a{x}^{2}+1}{-x+b}$=-$\frac{a{x}^{2}+1}{x+b}$，
即-x+b=-x-b，
则b=-b，得b=0，
此时f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$，由f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$=1得ax²+1=x，即ax²-x+1=0有等根，
则a≠0且判别式△=0，即1-4a=0，得a=$\frac{1}{4}$；
综上，a=$\frac{1}{4}$，b=0；
（2）∵a=$\frac{1}{4}$，b=0；
∴f（x）=$\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}+1}{x}$，
则函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=-f（x），
∴设g（x）=f（f（x）），
则g（-x）=f（f（-x））=f（-f（x））=-f（f（x））=-g（x），
则函数y=f（f（x））是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断和应用，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．