题目内容
19．已知点F和直线l分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点和右准线，过点F作斜率为$\sqrt{2}$的直线，该直线与l交于点A，与椭圆的一个交点是B，且$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，则椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．分析 设|$\overrightarrow{AF}$|=2m，|$\overrightarrow{FB}$|=m，故|AB|=3m．由椭圆的第二定义可得|AD|=$\frac{2m}{e}$，|BC|=$\frac{m}{e}$，|AE|=|AD|-|ED|=|AD|-|BC|=$\frac{m}{e}$．由AB的斜率tan∠BAE=$\sqrt{2}$，可得cos∠BAE 的值，再由cos∠BAE=$\frac{|AE|}{|AB|}$，求出e的值．
解答 
解：如图所示：过点A作AD垂直于右准线，垂足为D；过点B作BC垂直于右准线，垂足为C；
过点B作BE垂直于AD，垂足为E．
因为$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，可设|$\overrightarrow{AF}$|=2m，|$\overrightarrow{FB}$|=m，故|AB|=3m．
由椭圆的第二定义可得|AD|=$\frac{2m}{e}$，|BC|=$\frac{m}{e}$，|AE|=|AD|-|ED|=|AD|-|BC|=$\frac{m}{e}$．
由于直线AB的斜率等于$\sqrt{2}$，∴tan∠BAE=$\sqrt{2}$，∴cos∠BAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
直角三角形ABE中，cos∠BAE=$\frac{|AE|}{|AB|}$=$\frac{1}{3e}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解得离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题考查椭圆的第二定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，直角三角形中的边角关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
| A． | 1 | B． | 3+$\sqrt{5}$ | C． | 2+$\sqrt{2}$ | D． | 3+$\sqrt{13}$ |