Question

1．已知在三棱锥S-ABC中，P、Q分别是△SAC和△SAB的重心，试判断BC与平面APQ的位置关系并加以证明．

Answer 1

分析 根据三角形的重心定理，可得SP=$\frac{2}{3}$SM，SQ=$\frac{2}{3}$SN，因此由比例线段证出PQ∥MN．在△ABC中利用中位线定理证出MN∥BC，可得直线PQ与BC的位置关系是平行，即可得出结论．

解答 解：BC∥平面APQ．
∵△SAC中，P为的重心，
∴点P在△SAC中线SM上，且满足SP=$\frac{2}{3}$SM
同理可得：△SAB中，点Q在中线SN上，且满足SQ=$\frac{2}{3}$SN
∴G_PQ∥MN
∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC
因此可得PQ∥BC，
∵BC?平面APQ，PQ?平面APQ，
∴BC∥平面APQ．

点评 本题给出三棱锥两个侧面的重心的连线，判定它与底面相对棱的位置关系，着重考查了三角形重心的性质、比例线段的性质和三角形中位线定理等知识，属于中档题．