Question

11．已知函数f（x）=sin2ωx+cos2ωx．（ω＞0）的最小正周期为4π，
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标向右平行移动$\frac{π}{4}$个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式化简可得解析式：f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），由周期公式可求ω，解得函数解析式，由$2kπ+\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z^*，即可解得f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得解析式$g（x）=\sqrt{2}sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{8}）$，由正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上的最大值和最小值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为$f（x）=sin2ωx+cos2ωx=\sqrt{2}sin（{2ωx+\frac{π}{4}}）$，（公式2分）
又因为$T=\frac{2π}{2ω}=4π$，
所以$ω=\frac{1}{4}$；（公式（2分），结论1分）--------------------------------------------（5分）
解得：$f（x）=\sqrt{2}sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{4}}）$．
当$2kπ+\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z^*，函数f（x）单调递减，----------（6分）
所以，函数f（x）的单调递减区间为$[{\frac{π}{2}+4kπ，\;\;\frac{5π}{2}+4kπ}]$k∈Z^*．-----------------（8分）
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标向右平行移动$\frac{π}{4}$个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，$g（x）=\sqrt{2}sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{8}）$，-----------------（10分）
g（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}）$上单调递增，在$[{\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上单调递减，$g（\frac{π}{4}）=1$，$g（\frac{7π}{4}）=0$，
所以g（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上最大值为$g（\frac{3π}{4}）=\sqrt{2}$，最小值为$g（\frac{7π}{4}）=0$．
（单调性（1分），结论各1分）--------------（13分）

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，周期公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．