Question

10．若tan²α+cot²α=2，则sinαcosα=$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出tanα=±1，由sinαcosα=$\frac{1}{2}sin2α$，然后利用万能公式求得答案．

解答 解：由tan²α+cot²α=2，得$ta{n}^{2}α+\frac{1}{ta{n}^{2}α}=2$，即tan⁴α-2tan²α+1=0，
解得：tan²α=1，即tanα=±1．
∴sinαcosα=$\frac{1}{2}sin2α$=$\frac{1}{2}•\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{tanα}{1+ta{n}^{2}α}$．
当tanα=1时，sinαcosα=$\frac{1}{2}$；
当tanα=-1时，sinαcosα=$-\frac{1}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系式的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．