题目内容

15．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的动点，P到直线A1D1的距离为d，且d2-|PM|2=1，则动点P的轨迹是（　　）
A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线

分析 作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2-PQ2=RQ2=1，又已知PR2-PM2=1，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．

解答 解：如图所示：正方体ABCD-A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，
则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，
则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，
由题意可得PR2-PQ2=RQ2=1．
又已知PR2-PM2=1，
∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键．

练习册系列答案
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5．现从某1000件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图，
（1）求样本数据的中位数、平均数，并估计这1000件中药材的总重量；
（2）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率．
6．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[-1，0]时，f（x）=-x，则f（2011）=（　　）
A．1B．0C．2010D．2011
3．在△ABC中，∠A=120°，AC=$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{3}$，O为BC的中点，则AO=（　　）
A．$\sqrt{3}$B．$\frac{3}{2}$C．$\frac{9}{4}$D．9
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（2）求sin2α-sinαcosα-2cos2α的值．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，a，b，给出下列说法：
（1）若A≥90°，且a≤b，则此三角形不存在；
（2）若A≥90°，则此三角形最多有一个解；
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（4）若A＜90°，且a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且B=90°；
（5）若A＜90°，且bsinA＜a≤b时，三角形有两解．
其中正确说法的序号是（1）（2）（3）（4）．
7．在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA=$\sqrt{3}$cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=4，c=3，D为BC的中点，求AD的长度．
4．（1）求函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的单调区间；
（2）设An=nn+1，Bn=（n+1）n（n∈N*）．
①实验：分别就n=1，2，3，4，比较An与Bn的大小；
②根据①的实验结果猜测一个一般性结论，并证明你的结论．
3．下列命题：
①函数y=$\frac{x-1}{x+1}$的单调区间是（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
②函数y=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）的一个单调递增区间是$[-\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$；
③函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称．
④已知函数f（x）=ex-mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=$\frac{1}{2}x$垂直的切线，则实数m的取值范围是m＞2．
其中正确命题的序号为②④．

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