题目内容
3.在△ABC中,∠A=120°,AC=$\sqrt{3}$,AB=2$\sqrt{3}$,O为BC的中点,则AO=( )A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{9}{4}$ | D. | 9 |
分析 在△ABC中,由余弦定理求得BC,得到OB,再由正弦定理求得sinB,结合平方关系求得cosB,然后在△AOB中由余弦定理得答案.
解答 解:如图,
∵∠A=120°,AC=$\sqrt{3}$,AB=2$\sqrt{3}$,
∴$BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cos∠BAC}$=$\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}-2×2\sqrt{3}×\sqrt{3}×(-\frac{1}{2})}$=$\sqrt{21}$.
∴OB=$\frac{\sqrt{21}}{2}$.
又$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$,得$\frac{\sqrt{3}}{sinB}=\frac{\sqrt{21}}{sin120°}$,∴sinB=$\frac{\sqrt{21}}{14}$,则cosB=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$.
则AO=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}-2AB•OB•cosB}$=$\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(\frac{\sqrt{21}}{2})^{2}-2×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{21}}{2}×\frac{5\sqrt{7}}{14}}$=$\frac{3}{2}$.
故选:B.
点评 本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查计算能力,属中档题.
练习册系列答案
相关题目
15.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M是棱AB的中点,点P是平面ABCD上的动点,P到直线A1D1的距离为d,且d2-|PM|2=1,则动点P的轨迹是( )
A. | 圆 | B. | 抛物线 | C. | 椭圆 | D. | 双曲线 |
12.如图所示,质点A从坐标原点O开始沿箭头所指方向作规则运动,每次只运动一个单位,相应的质点的坐标记为An,如A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(1,-1),…,则A2015的坐标为( )
A. | (-21,12) | B. | (-22,12) | C. | (-21,13) | D. | (-22,13) |
13.如图,已知AB是半径为5的圆O的弦,过点A,B的切线交于点P,若AB=6,则PA等于( )
A. | $\frac{5}{2}\sqrt{21}$ | B. | $\frac{25}{4}$ | C. | $\frac{15}{4}$ | D. | $\frac{3}{2}\sqrt{5}$ |