下列命题:①函数y=$\frac{x-1}{x+1}$的单调区间是．②函数y=2sin的一个单调递增区间是$[-\frac{π}{8}.\frac{3π}{8}]$,③函数$f(x)=sin$图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称．④已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C.若曲线C存在与直线y=$\frac{1}{2}x$垂直的切线.则实数m的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．下列命题：
①函数y=$\frac{x-1}{x+1}$的单调区间是（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
②函数y=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）的一个单调递增区间是$[-\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$；
③函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称．
④已知函数f（x）=e^x-mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=$\frac{1}{2}x$垂直的切线，则实数m的取值范围是m＞2．
其中正确命题的序号为②④．

分析 ①函数y=$\frac{x-1}{x+1}$，只讨论在（-∞，-1）和（-1，+∞）的单调性；
②③根据三角形函数的图象和性质判断；
④求出曲线C：f（x）的导数，即C的切线斜率，因与直线y=$\frac{1}{2}$x垂直，可得m的取值范围．

解答解：对于①函数y=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$在区间（-∞，-1）和（-1，+∞）都是增函数，但在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上不是增函数．故①错误；
对于②函数y=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）的单调递增，-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，即-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，当k=0时，即为，即-$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{3π}{8}$，故②正确；
对于③函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$图象的对称轴为2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，当k=1收，x=$\frac{7π}{12}$，当k=0时，x=$\frac{7π}{12}$，故③错误；
对于④∵曲线C的方程：f（x）=e^x-mx+1，∴f′（x）=e^x-m，由曲线C的切线与直线y=$\frac{1}{2}$x垂直，得（e^x-m）•$\frac{1}{2}$=-1，∴m=e^x+2＞2，故④正确；
故答案为：②④．

点评本题通过命题真假的判定，考查了函数的单调性，三角函数的性质，导数知识的应用，是容易出错的题目，属于中档题．