Question

11．已知二次函数f（x）满足f（0）=0，且f（x+1）-f（x）=2x-1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若m＞0，函数f（x）在[m，m+2]上的最小值为3，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0得c=0，由f（x+1）-f（x）=2x-1，得2ax+a+b=2x-1，解方程组求出a，b的值，从而求出函数的解析式．
（2）分类讨论，利用函数f（x）在[m，m+2]上的最小值为3，求实数m的值．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0得c=0，
故f（x）=ax²+bx．
因为f（x+1）-f（x）=2x-1，
所以a（x+1）²+b（x+1）-（ax²+bx）=2x-1．
即2ax+a+b=2x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x．
（2）f（x）=x²-2x=（x-1）²-1
m+2＜1，即m＜-1，f（m+2）=3，∴m=-3，不符合；
m≤1≤m+2，f（1）=-1，不符合；
m＞1，f（m）=3，∴m=3，
综上，m=3．

点评 本题考查了函数的解析式的求法，待定系数法是常用的方法之一，本题属于中档题．