Question

10．设a₁=1，a_n+1+$\sqrt{1-{a}_{n}}$=0，证明：$\underset{lim{a}_{n}}{n→∞}$存在，并求其极限．

Answer 1

分析 当n→∞时，a_n+1=a_n，从而得${{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}-1=0}^{\;}$，由此能求出$\underset{lim{a}_{n}}{n→∞}$．

解答 证明：∵$\underset{lim}{n→∞}$（a_n+1-a_n）=0，a₁=1，a_n+1+$\sqrt{1-{a}_{n}}$=0，
∴${a}_{n}+\sqrt{1-{a}_{n}}=0$，且a_n≤0，
∴${{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}-1=0}^{\;}$，
解得${a}_{n}=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，或${a}_{n}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（舍），
∴$\underset{lim{a}_{n}}{n→∞}$存在，且$\underset{lim{a}_{n}}{n→∞}$=-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查数列的极限值是否存在的证明，是中档题，解题时要注意二次函数的性质的合理运用．