Question

7．关于曲线C：x${\;}^{\frac{1}{2}}$+y${\;}^{\frac{1}{2}}$=1，给出下列四个命题：
①曲线C有且仅有一条对称轴；        
②曲线C的长度l满足l＞$\sqrt{2}$；
③曲线C上的点到原点距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是$\frac{1}{6}$
上述命题中，真命题的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 将方程中的x换为y，y换为x，方程不变，判断出①正确；通过对曲线的性质，得到②正确；构造距离关系式，得到③正确，利用积分的几何意义，得到④正确．

解答 解：对于①：将方程中的x换为y，y换为x，方程不变，
故该曲线C关于直线y=x对称，如下图所示：

故①正确；
对于②：根据曲线C：x${\;}^{\frac{1}{2}}$+y${\;}^{\frac{1}{2}}$=1，得
y=（$\sqrt{x}-1$）²，（0≤x≤1），
其中两个端点为A（0，1），B（1，0），
此时|AB|=$\sqrt{2}$，
因为该曲线为曲线，
∴曲线C的长度l满足l＞$\sqrt{2}$；
故②正确；
对于③：设点P（x，y）为曲线C上任意一点，
则|OP|²=x²+y²
=x²+（$\sqrt{x}-1$）⁴，
=2x²+6x-4${x}^{\frac{3}{2}}$-4${x}^{\frac{1}{2}}$+1
∵x∈[0，1]，
∴|OP|的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故③正确；
对于④：曲线C与两坐标轴所围成图形的面积设为S，则
S=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{x}$-1）²dx=${∫}_{0}^{1}$（x-2$\sqrt{x}$+1）dx=$\frac{1}{6}$，
故④正确；
综上，①②③④都正确；
故选：A．

点评 本题考查对称问题、最值问题的处理思路和方法、定积分的基本运算等知识，属于难题．