Question

2．用一块直三棱柱木块ABC-A₁B₁C₁加工成长方体MNEF-M₁N₁E₁F₁，其中MN∥BC，EF在BC上，若AA₁=AC=30，AB=50，BC=40，则长方体体积最大值为9000．

Answer 1

分析 利用题意判断得出EM=x，MN=y，几何体的高度为三棱锥的高度，底面如图，F与C点重合，此时只要底面积最大即可得出体积最大，列出函数式子S=x（40-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$x²+40x，0＜x＜30，再利用二次函数的性质求解即可．

解答 解：根据题意得出几何体如图，
设EM=x，MN=y，几何体的高度为三棱锥的高度，底面如图，F与C点重合，此时只要底面积最大即可得出体积最大，
根据三角形的几何性质得出：$\frac{x}{30}$=$\frac{40-y}{40}$，0＜x＜30，
y=40-$\frac{4}{3}$x，
∴底面EFMN的面积S=x（40-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$x²+40x，0＜x＜30，
根据二次函数得出：x=15时，S的最大值为15×（40-$\frac{4}{3}$×15）=300，
∴长方体体积最大值为30×300=9000，
故答案为：9000

点评 本题考查了运用函数的思想求解几何图形终端最大值问题，关键是列出式子，确定边长，难度不大，属于中档题，考查了学生运用代数思想解决空间几何图形的能力．