Question

12．设A，B是双曲线x²-y²=1上关于原点O对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l折成直二面角，则折叠后线段AB长度的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{3\sqrt{2}}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 先利用平移与旋转的知识，把双曲线x²-y²=1按逆时针方向旋转45°角，得到双曲线y=$\frac{1}{2x}$的图象，问题转化为：过原点的直线交双曲线y=$\frac{1}{2x}$于A、B两点，将坐标平面沿直线y轴折成直二面角，求折后线段AB长度的最小值，再利用空间中的垂直关系以及基本不等式的知识求出|AB|的最小值．

解答 解：∵双曲线x²-y²=1是等轴双曲线，渐近线方程为y=±x，
∴将双曲线按逆时针方向旋转45°角，得双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象
∵双曲线x²-y²=1的顶点（1，0），逆时针方向旋转45°
变为点（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
∴点（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在y=$\frac{k}{x}$的图象上，可得k=$\frac{1}{2}$，
即双曲线按逆时针方向旋转45°角，得到双曲线y=$\frac{1}{2x}$的图象，
如图1所示；
问题转化为：过原点的直线交双曲线y=$\frac{1}{2x}$于A、B两点
将坐标平面沿直线y轴折成直二面角，求折后线段AB长度的最小值，
如图2所示；
设A（t，$\frac{1}{2t}$）（t＞0），过点A作AM⊥y轴于M，连结MB，
可得M（0，$\frac{1}{2t}$），B（-t，-$\frac{1}{2t}$），
|MB|=$\sqrt{{（0+t）}^{2}{+（\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t}）}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}}$，
在折叠后的图形中，Rt△AMB中，|AM|=t，
得|AB|²=|AM|²+|MB|²=2t²+$\frac{1}{{t}^{2}}$≥2$\sqrt{{2t}^{2}•\frac{1}{{t}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当t²=$\frac{1}{2}$，即t=$\frac{1}{\sqrt{2}}$时等号成立，
∴当t=$\frac{1}{\sqrt{2}}$时，A坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，|AB|的最小值为$\sqrt{2\sqrt{2}}$．
综上，折后线段AB长度的最小值是$\sqrt{2\sqrt{2}}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面图形的折叠问题，也考查了两点间的距离公式、面面垂直的性质、勾股定理和基本不等式的应用问题，是综合性题目．