题目内容
18．一条直线l过点P（1，4），分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为4x+8y-8=0．分析 设A（a，0），B（0，b），可得直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$．把点P（1，4）代入利用基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．
解答 解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$．
把点P（1，4）代入可得：$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1$．（a，b＞0）．
∴$1≥2\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{4}{b}}$，化为ab≥16，当且仅当b=4a=8时取等号．
∴S△AOB=$\frac{1}{2}ab$≥8，l的方程为：4x+8y-8=0；
故答案为：4x+8y-8=0．
点评 本题考查了截距式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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