题目内容

3.已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2\sqrt{2}≥0}\\{x≤2\sqrt{2}}\\{y≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P,作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B,当∠APB最大时,$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值为(  )
A.2B.$\frac{3}{2}$C.$\frac{5}{2}$D.3

分析 作出不等式组对应的平面区域,根据数形结合求确定当α最小时,P的位置,利用向量的数量积公式,即可得到结论.

解答 解:作出不等式组对应的平面区域如图,要使∠APB最大,
则P到圆心的距离最小即可,
由图象可知当OP垂直直线x+y-2$\sqrt{2}$=0,此时|OP|=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2,|OA|=1,
设∠APB=α,则sin$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$,$\frac{α}{2}$=$\frac{π}{6}$
此时cosα=$\frac{1}{2}$,$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\sqrt{3}•\sqrt{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$.
故选:B

点评 本题主要考查线性规划的应用,考查学生分析解决问题的能力,利用数形结合是解决本题的关键.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网