Question

在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,适当建立坐标系,求以M、N为焦点,且过点P的椭圆方程.

Answer 1

椭圆方程为+=1.

以点M、N所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设所求椭圆方程为+=1,
则|MN|=2c,M(-c,0),N(c,0).
设P(x_P,y_P),则由tan∠PMN=,得=,
由tan∠MNP=-2,得tan(π-∠MNP)=2,
即=2,
解得x_P=c,y_P=c.
又S_△MNP=c×|y_P|=1,即c²=1,
故c=,即P(,),将P点坐标代入椭圆方程,再由c²=a²-b²解得a²=,b²=3.
故所求椭圆方程为+=1.