题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若时,求函数
的最小值;
(2)若函数既有极大值又有极小值,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)代入,得
,求导,利用导函数判定函数的单调性,即可求得函数的最小值;
(2)现求导数,函数既有极大值又有极小值,等价于
有两个零点,可分
和
两种情况分类讨论,得到函数的单调性和极值,得到函数有极大值和极小值的条件,即可求解实数
的取值范围.
试题解析:
(1)当时,
,定义域为
.
,令
,可得
.
列表:
- | 0 | + | |
极小值 |
所以,函数的最小值为
.
(2),定义域为
,
.
记,
,
,
①当时,
,
在
上单调递增,
故在
上至多有一个零点,
此时,函数在
上至多存在一个极小值,不存在极大值,不符题意;
②当时,令
,可得
,列表:
+ | 0 | - | |
极大值 |
若,即
,
,即
,
故函数在
上单调递减,函数
在
上不存在极值,与题意不符,
若,即
时,
由于,且
,
故存在,使得
,即
,
且当时,
,函数
在
上单调递减;
当时,
,函数
在
上单调递增,函数
在
处取极小值.
由于,且
(事实上,令
,
,故
在
上单调递增,所以
).
故存在,使得
,即
,
且当时,
,函数
在
上单调递增;
当时,
,函数
在
上单调递减,函数
在
处取极大值.
综上所述,当时,函数
在
上既有极大值又有极小值.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目