题目内容
【题目】已知直线
的方程为
，抛物线
：
的焦点为
，点
是抛物线上到直线距离最小的点.
（1）求点的坐标；
（2）若直线
与抛物线交于
两点，
为
中点，且
，求直线的方程.
【答案】（1）(1,2) （2）9x+3y-7=0
【解析】
(1)根据点到直线的距离公式和二次函数的性质得出P点坐标；(2)设出点M的坐标，由向量坐标化得到M(1,-
)，设出点A和点B的坐标，代入抛物线，两式做差得到斜率，由点斜式得到直线方程.
(1)设点P的坐标为(x0,y0),则y02=4x0，所以，点P到直线的距离：
d =
=
=
=
≥
当且仅当y0=2时取最小值，此时P点坐标为(1,2).
(2)设点M的坐标为（x1,y1）因为
=3
, 又点P(1,2),又F(1,0)可得：(0，-2)=3(x1-1,y1-0)
经计算得：点M(1,-
)
设点A(x2,y2)点B（x3,y3）,于是
两式相减可得：(y3- y2)( y3+y2)=4(x3-x2) 化简得：
=
,
所以k=-3
于是，y+=-3(x-1),整理得9x+3y-7=0
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