题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
平面
,
,点
是
中点.
(1)求证: ;
(2)若,
,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析. (2).
【解析】试题分析:(1)根据等腰三角形易得,由线面垂直可得
,由线面垂直判定定理可得
平面
,故而可得结论;(2)以
,
为
轴建立如图所示空间直角坐标系,分别求出面
的一个法向量
,面
的一个法向量
,求出向量夹角即可得结论.
试题解析:(1)证明:∵,
是
中点,∴
,
∵平面
,平面
平面
,∴
平面
,
又平面
,∴
,
∵,
,
平面
,
∴平面
,
∵平面
,∴
.
(2)解:取中点
,连
,
以,
为
轴建立如图所示空间直角坐标系,
由,
,
,知
,
,
∴,
,
又,∴
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则,取
得
,
同理,得平面的一个法向量
,
∴,
∴二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.
某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别 | 选考方案确定情况 | 物理 | 化学 | 生物 | 历史 | 地理 | 政治 |
男生 | 选考方案确定的有6人 | 6 | 6 | 3 | 1 | 2 | 0 |
选考方案待确定的有8人 | 5 | 4 | 0 | 1 | 2 | 1 | |
女生 | 选考方案确定的有10人 | 8 | 9 | 6 | 3 | 3 | 1 |
选考方案待确定的有6人 | 5 | 4 | 0 | 0 | 1 | 1 |
(Ⅰ)试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人?
(Ⅱ)写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.(直接写出结果)
(Ⅲ)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.