题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)若,
是椭圆
上两个不同的动点,且使
的角平分线垂直于
轴,试判断直线
的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(I)由离心率可得关系,再将点
坐标代入,可得
间关系,又
,解方程可得
的值;(II)由
的角平分线总垂直于
轴,可判断直线
的斜率互为相反数,由两直线都过
点,由点斜式可写出直线方程.一一与椭圆方程联立,消去
的值,可得一元二次方程,又
点满足条件,可求得
点的坐标,用
表示.再由斜率公式可得直线
的斜率为定值.
试题解析:
(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为
, 且过点
,
所以,
.
因为,
解得,
,
所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)法1:因为的角平分线总垂直于
轴, 所以
与
所在直线关于直线
对
称. 设直线的斜率为
, 则直线
的斜率为
.
所以直线的方程为
,直线
的方程为
.
设点,
,
由消去
,得
. ①
因为点在椭圆
上, 所以
是方程①的一个根, 则
,
所以.
同理.
所以.
又.
所以直线的斜率为
.
所以直线的斜率为定值,该值为
.
法2:设点,
则直线的斜率
, 直线
的斜率
.
因为的角平分线总垂直于
轴, 所以
与
所在直线关于直线
对称.
所以, 即
, ①
因为点在椭圆
上,
所以,②
. ③
由②得, 得
, ④
同理由③得, ⑤
由①④⑤得,
化简得, ⑥
由①得, ⑦
⑥⑦得
.
②,得
.
所以直线的斜率为
为定值.
法3:设直线的方程为
,点
,
则,
直线的斜率
, 直线
的斜率
.
因为的角平分线总垂直于
轴, 所以
与
所在直线关于直线
对称.
所以, 即
,
化简得.
把代入上式, 并化简得
. (*)
由消去
得
, (**)
则,
代入(*)得,
整理得,
所以或
.
若, 可得方程(**)的一个根为
,不合题意.
若时, 合题意.
所以直线的斜率为定值,该值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品.表1是甲流水线样本的频数分布表,图1是乙流水线样本的频率分布直方图.
(Ⅰ)根据图1,估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数;
(Ⅱ)若将频率视为概率,某个月内甲,乙两条流水线均生产了5000件产品,则甲,乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件?
(Ⅲ)根据已知条件完成下面列联表,并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”?
甲生产线 | 乙生产线 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附:(其中
为样本容量)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |