题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数在
上是减函数,求实数
的取值范围;
(2)若函数在
上存在两个极值点
,
,且
,证明:
.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】分析:(1)由题意得出在定义域
上恒成立,即
,
设,则
,由此利用导数求得函数单调性与最值,即可求解;
(2)由(1)知,由函数
在
上存在两个极值点
,
,推导出∴
,设
,则
,要证
,只需证
,构造函数
,利用导数求得函数的单调性与最值,即可作出求解.
详解:(1)∵在
上是减函数,
∴在定义域
上恒成立,
∴,
设,则
,
由,得
,由
,得
,
∴函数在
上递增,在
上递减,
∴,∴
.
故实数的取值范围是
.
证明:(2)由(1)知,
∵函数在
上存在两个极值点
,
,且
,
∴,
则,∴
,
∴
,
设,则
,
要证,
只需证,只需证
,只需证
,
构造函数,则
,
∴在
上递增,
∴,即
,
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】下表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗
(吨标准煤)的四组对应数据.
6 | 8 | 10 | 12 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为45吨标准煤,试根据(1)中的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
.
【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就诊人数 | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(Ⅰ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2月至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程=
x+
;
(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想.
附:(参考数据
)