Question

【题目】如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2． （Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；
（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵四边形为菱形，∠BAD=120°，连结AC， ∴△ACD为等边三角形，
又∵M为CD中点，∴AM⊥CD，
由CD∥AB得，∴AM⊥AB，
∵AA1⊥底面ABCD，AM底面ABCD，∴AM⊥AA1 ，
又∵AB∩AA1=A，∴AM⊥平面AA1B1B
解：（Ⅱ）∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2，
∴DM=1， ，∠AMD=∠BAM=90°，
又∵AA1⊥底面ABCD，
分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A1（0，0，2）、B（2，0，0）、 、 ，
∴ ， ， ，
设平面A1BD的一个法向量 ，
则有 ，令x=1，则 ，
∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值：
．

【解析】（Ⅰ）推导出AM⊥CD，AM⊥AB，AM⊥AA1 ， 由此能证明AM⊥平面AA1B1B（Ⅱ）分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．