题目内容

【题目】已知点A(1,2),过点P(5,﹣2)的直线与抛物线y2=4x相交于B,C两点,则△ABC是(
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定

【答案】A
【解析】解:当BC斜率不存在时,方程为x=5, 代入抛物线方程y2=4x得
B ,C
所以AB斜率是
AC斜率是
所以kABkAC=﹣1,
所以AB与AC垂直,
所以三角形ABC是直角三角形当BC斜率存在时,显然不能为0,否则与抛物线只有一个公共点,
所以设方程为x﹣5=a(y+2)(a是斜率的倒数),
代入抛物线方程化简得y2﹣4ay﹣8a﹣20=0 设B(x1 , y1),C(x2 , y2),
则y1+y2=4a,y1y2=﹣8a﹣20 x1+x2=(ay1+2a+5)+(ay2+2a+5)=a(y1+y2)+4a+10=4a2+4a+10 x1x2=(ay1+2a+5)(ay2+2a+5)=4a2+20a+25
因为(y1﹣2)(y2﹣2)=y1y2﹣2(y1+y2)+4=﹣16a﹣16 (x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1=16a+16 所以AB和AC斜率乘积等于﹣1,
即AB垂直于AC.综上可知,三角形ABC是直角三角形
故选A.
先讨论直线BC斜率不存在时,求出B,C的坐标,求出AB、AC斜率,求出kABkAC=﹣1,得到三角形ABC是直角三角形,当BC斜率存在时设出其方程,联立BC的方程与抛物线的方程,利用韦达定理,表示出AB、AC斜率,求出kABkAC=﹣1,得到三角形ABC是直角三角形.

练习册系列答案
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【题目】北京某附属中学为了改善学生的住宿条件,决定在学校附近修建学生宿舍,学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元,已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为0.8万元.

(1)若学生宿舍建筑为层楼时,该楼房综合费用为万元,综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出的表达式;

(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少万元?

【答案】(1);(2)学校应把楼层建成层,此时平均综合费用为每平方米万元

【解析】

由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元,得到第层楼房建筑费用,由楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高万元,然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用

设楼房每平方米的平均综合费用为,则,然后利用基本不等式求最值.

解:由建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为万元,

且楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高万元,

可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为:万元.

建筑第1层楼房建筑费用为:万元

楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高:万元

建筑第x层楼时,该楼房综合费用为:

设该楼房每平方米的平均综合费用为

则:

当且仅当,即时,上式等号成立.

学校应把楼层建成10层,此时平均综合费用为每平方米万元.

【点睛】

本题考查简单的数学建模思想方法,训练了等差数列前n项和的求法,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.

型】解答
束】
20

【题目】已知

(1)求函数的最小正周期和对称轴方程;

(2)若,求的值域.

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