题目内容
【题目】已知点A(1,2),过点P(5,﹣2)的直线与抛物线y2=4x相交于B,C两点,则△ABC是( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
【答案】A
【解析】解:当BC斜率不存在时,方程为x=5, 代入抛物线方程y2=4x得
B ,C
所以AB斜率是 ,
AC斜率是
所以kABkAC=﹣1,
所以AB与AC垂直,
所以三角形ABC是直角三角形当BC斜率存在时,显然不能为0,否则与抛物线只有一个公共点,
所以设方程为x﹣5=a(y+2)(a是斜率的倒数),
代入抛物线方程化简得y2﹣4ay﹣8a﹣20=0 设B(x1 , y1),C(x2 , y2),
则y1+y2=4a,y1y2=﹣8a﹣20 x1+x2=(ay1+2a+5)+(ay2+2a+5)=a(y1+y2)+4a+10=4a2+4a+10 x1x2=(ay1+2a+5)(ay2+2a+5)=4a2+20a+25
因为(y1﹣2)(y2﹣2)=y1y2﹣2(y1+y2)+4=﹣16a﹣16 (x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1=16a+16 所以AB和AC斜率乘积等于﹣1,
即AB垂直于AC.综上可知,三角形ABC是直角三角形
故选A.
先讨论直线BC斜率不存在时,求出B,C的坐标,求出AB、AC斜率,求出kABkAC=﹣1,得到三角形ABC是直角三角形,当BC斜率存在时设出其方程,联立BC的方程与抛物线的方程,利用韦达定理,表示出AB、AC斜率,求出kABkAC=﹣1,得到三角形ABC是直角三角形.
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