Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣aex﹣e2x（a∈R，e是自然对数的底数）． （Ⅰ）若f（x）≤0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程x﹣aex=0有两个不同的实数解x1 ， x2 ， 求证：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：若f（x）≤0对任意x∈R恒成立 可化为x﹣aex≤e2x对x∈R恒成立，
故a≥ 对x∈R恒成立，
令F（x）= ，
则F′（x）= ；
则当x＜0时，F′（x）＜0，x＞0时，F′（x）＞0；
故F（x）= 在x=0处有最大值F（0）=﹣1；
故a≥﹣1；
（Ⅱ）证明：∵若方程x﹣aex=0有两个不同的实数解x1 ， x2 ，
结合（1）可知，﹣lna﹣ae﹣lna＞0，
解得，0＜a＜ ；
则x1=aex1 ， x2=aex2；
则a= 的两个不同根为x1 ， x2 ，
令g（x）= ，则g′（x）= ，
知g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，
故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；
对于任意a1 ， a2∈（0， ），设a1＞a2 ，
若g（m1）=g（m2）=a1 ， g（n1）=g（n2）=a2 ，
其中0＜m1＜1＜m2 ， 0＜n1＜1＜n2 ，
∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；
∴m1＞n1 ， m2＜n2；
∴ ；
故 随着a的减小而增大，
令 =t，
x1=aex1 ， x2=aex2 ， 可化为x2﹣x1=lnt；t＞1；
则x1= ，x2= ；
则x2+x1= ，
令h（t）= ，
则可证明h（t）在（1，+∞）上单调递增；
故x2+x1随着t的增大而增大，即
x2+x1随着 的增大而增大，
故x2+x1随着a的减小而增大，
而当a= 时，x2+x1=2；
故x2+x1＞2．
【解析】（Ⅰ）由x﹣aex≤e2x对x∈R恒成立，故a≥ 对x∈R恒成立，令F（x）= ，从而化成最值问题；（Ⅱ）由题意可求出0＜a＜ ；则a= 的两个不同根为x1 ， x2 ， 做y= 的图象，利用数形结合证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．