题目内容
【题目】已知抛物线 : 过点的直线交抛物线于两点,设
(1)若点 关于轴的对称点为,求证:直线经过抛物线 的焦点;
(2)若求当最大时,直线的方程.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
【解析】试题分析:(1)设出P和Q的坐标,根据P和M关于x轴对称表示出M的坐标,利用设出的坐标表示出和,根据,化简即可得到P和Q的横坐标,然后由抛物线的方程找出焦点F的坐标,然后利用M,F和Q的坐标表示出向量,利用刚才化简的式子及求出的横坐标代入即可得到=λ,所以得到直线MQ过F点;(2)由第一问求得的P和Q的横坐标相乘等于1,由y12﹣y22=16x1x2=16,y1y2>0,得到y1y2的值,利用两点间的距离公式表示出|PQ|2,然后把P和Q的横坐标及得到的y1y2的值及x1x2的值分别代入得到关于λ的关系式,配方后利用λ的范围求出λ+的范围,即可求出λ+的最大值,让其等于最大值解出此时λ的值,把λ的值代入关于λ的关系式即可求出|PQ|2的最大值,即得到|PQ|最大值,并利用λ的值求出此时P和Q两点的坐标,根据两点的坐标即可写出直线PQ的方程.
详解:
(1)设
由抛物线C:得到F(1,0)
直线MQ经过抛物线C的焦点F;
(2)由(1)知
则
当 即 时, 有最大值,则的最大值为
此时
则直线的方程为:
【题目】随着人们生活水平的不断提高,家庭理财越来越引起人们的重视.某一调查机构随机调查了5个家庭的月收入与月理财支出(单位:元)的情况,如下表所示:
月收入(千元) | 8 | 10 | 9 | 7 | 11 |
月理财支出(千元) |
(I)在下面的坐标系中画出这5组数据的散点图;
(II)根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(III)根据(II)的结果,预测当一个家庭的月收入为元时,月理财支出大约是多少元?
(附:回归直线方程中,,.)